40108 數學可以怎樣教得更好?

終極密碼

遊戲規則:本遊戲為猜密碼的遊戲。密碼為0到100之間的其中1個整數,電腦會提示密碼的所在範圍,玩家必須在6次之內猜到密碼才能過關。
★ 終極密碼為0到100之間 ★
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我把討論題目修改為: 數學可以怎樣教得更好?1 1 這篇文章是作者在ICM的一個全體專題討論會上引言講稿, 旨在引起更深入的討論。討論會是國際數學家大會 (International Congress of Mathematicians) 節目之一, 2014年八月十八日在韓國首爾舉行, 討論題目是「數學應該怎樣教得更好?」 (How should we teach mathematics better?) 討論會其他成員有: 美國密西根大學的波爾教授 (Deborah Ball) (主持人)、新西蘭奧克蘭大學的巴頓教授 (Bill Barton) 及法國傅立葉大學的拉博爾特教授 (Jean-Marie Laborde)。 波爾教授因事未能到會。有關討論會更詳盡的報告, 讀者可參閱: D. Ball, B. Barton, J.-M. Laborde, M. K. Siu, How should we teach mathematics better? Proceedings of the International Congress of Mathematicians Seoul 2014, Volume 1, edited by S. Y. Jang et al, 2014, pp.739-742。 本文由陳鳳潔女士翻譯為中文, 作者謹向譯者致謝。

若然題目用了「應該」("should") 而不是「可以」("can"), 就會令人覺得老師有一些固定的法則可以遵從。 事情不是這樣的; 我也沒有資格教導別人怎樣教學。 而且, 優良的教師有不同的類型, 各有長處, 決不會只有一種既定的方法可以令教學做得更好。 雖然如此, 劣質教師卻很容易給認出。 讓我從十九世紀法國小說家司湯達 (Stendhal, 此乃 Marie-Henri Beyle (1783$\sim$1842) 的筆名) 於 1836 年著作的半自傳小說《布魯特的一生》(Vie de Henry Brulard) 抽出一個例子, 作者描述他在學校學習數學的歷程:

$\cdots$ 道佩 (Dupuy) 是我見過最自負和最奉行父權的中產階級, 一位完全沒有天分的數學老師。 $\cdots$ 因為教學方法十分愚蠢, 我的數學學習沒有進展; 如果可能學到什麼的話, 我的同學所學得的比我更少。 偉大的道佩先生講解命題就好像給我們提供一連串製作酸醋的方法。 $\cdots$ 我越是輕蔑道佩先生和沙拔爾先生 (Chabert) 兩位教師, 我越喜愛數學。

$\cdots$ 我認為, 數學不可能虛偽, 以我年少時的單純見解, 認為所有科學也應如是, 因為我知道, 科學應用了數學。 但當我發現沒有人能夠給我解釋「負負得正」($-\times -=+$) (這是被稱為代數的科學的重要根基之一) 究竟是什麼一回事時, 我真的十分震驚! 他們不單不能夠清楚解釋 (當然這是可以清楚解釋明白的, 因為它導致真理), 更壞的是, 他們用一些顯然自己都不明白的道理來解釋。

$\cdots$ (沙拔爾先生對我說:) 「這是慣例。 人人都接受這樣的解釋; 跟你差不多一樣優秀的歐拉 (Euler) 和拉格朗日 (Lagrange), 他們都接受。 [$\cdots$]看來, 你是想突出自己吧。」 至於道佩先生, 他對我的膽怯抗議 (膽怯是他的誇張語氣使然), 報以拒人千里、高高在上的微笑。 (Stendhal (1836/1961))

道佩先生表現了劣質教師的兩個特性 --- 沒有腦袋和沒有心! Gilbert Highet 在他的著作 The Art of Teaching 中指出兩點, 是成為優良教師的兩個重要而且必需的條件; 雖然是老生常談, 其實是真理 [Highet, 1950]。

首先, 教師必須喜愛他教的科目。 最好的註腳來自十八世紀德國詩人和思想家諾瓦利斯 (Novalis, 此乃 Friedrich Leopold von Hardenberg 的筆名): 「一位真正的數學家根本就熱衷於數學。 沒有熱心, 便沒有數學。」(Moritz (1914))

其次, 教師必須喜愛他的學生。 美國數學家莫伊斯 (Edwin Evariste Moise) 說過一段很有意思的話: 「教學這項活動, 涉及一種意義十分不明確的人際關係。 教師本人是一位表演者、講解員、監工、領頭人、裁判員、導師、權威人物、對話者和朋友。 所有這些角色都不易擔當, 其中有不少還是互不協調的。 因此, 要成為一位老練成熟的教師, 個人品格的細緻成長是不可或缺的。」 (Moise (1973))

我們不再詳細論述這兩點, 重回到數學教學這個問題吧。 教學就是說故事, 要說一個好故事, 一個能引起好奇和激發想像的好故事, 一個關於人類在悠長歲月探索理解周遭世界的故事。

我將簡短討論以下三點: (1) 少者多也 (Less is More), (2) 數學史與數學教學 (History and Pedagogy of Mathematics), (3) 數學教育與滑鼠 (Mathematics & the Mouse)。

(1) L is M

在小學和中學, 學生要學習的數學基本概念並不太多; 這些基本概念在小學和中學各級的課程不斷重複出現, 甚至出現在大學課程。 因此, 數學教育界務必努力設計以這些概念為主線的教學和學習活動。

一個富啟發性的例子可以說明這一點, 這個例子取材自德國數教育學家 Erich Wittmann 和 Gerhard Müller 領導的 "Mathe 2000"計劃2 2 德國的 Nordrhein-Westfalen 省於 1985 年採用了新的小學數學課程(小一至小四); 課程主要是由德國數學教育權威人士 Heinrich Winter 撰寫。 為了協助教師實踐這個新課程, 德國 Dortmund University 的 Erich Ch. Wittmann 和 Gerhard N. Müller 於1987年成立了 "Mathe 2000"計劃。 (有關詳情, 請瀏覽網址 http://www.mathe2000de/) , 其意念卻沿自 Alistair McIntosh 和 Douglas Quadling 所寫有關 Arithmogons 的文章 (McIntosh & Quadling (1975))。 (有關此例請閱附錄。)

主要的訊息是「少者多也」 (Siu (2000); 蕭文強 (1995))。

(2) HPM

我堅持的信念是: 數學是文化的一部份, 它並不只是工具而已, 那怕已經證明了它是非常有用的工具; 因此, 數學的發展歷史, 以及由古至今數學與其他人類的奮鬥活動的關係, 都應該是這學科的一部份。 我的教學與學習經驗告訴我: 數學史知識幫助我更深入瞭解數學內容和改進我的教學; 其實, 把數學史融入教學以達致這目的只不過是眾多方法其中之一; 數學史未必是最有效的選擇, 不過我相信, 只要恰當運用, 它可以是一種有效的方法 (Siu (2014); 蕭文強 (2009/2010a))。

雖然數學史非常重要, 但我們不能視之為解決數學教育各項問題的萬應靈丹, 這就好像數學科本身雖然重要, 但不是唯一值得學習的學科。 就是因為數學能有機地融入其他知識和文化活動, 數學科才成為更值得學習的科目。 在這樣更廣泛的層面來說, 數學史更加肩負全人教育的一個重要任務。(Siu & Tzanakis (2004))

我們應該從三個觀點檢示一個數學課題: 歷史觀點, 數學觀點和教學觀點。 雖然這三個觀點相關, 其實各有不同之處。 按照歷史發生的過程去教, 未必是最佳的方法; 從數學角度看是最佳的, 放進課堂未必佳, 更可以肯定說歷史上不是這樣發生的。 不過, 這三個觀點互相補足。 作為數學教師, 我們應該設法多知道些數學史及具備堅實的數學知識, 以瞭解該課題, 然後著眼於教學方面, 以冀能夠在課堂上發揮, 讓學生學得更好, 明白得更多更深入。

(3) M & M

2003年《新聞周刊》(Newsweek) 有一期特刊, 封面刊出的主題是: "Bionic Kids: How Technology is Altering the Next Generation of Humans"。 其中標題為 "Log on and Learn"的文章有兩點值得注意。

「小孩腦袋發展, 能擅於處理多樣的視覺資訊。 $\cdots$

兒童可以同時留意多種不同的事情。 但是, 這樣做有一定的代價, 即不可能深入瞭解任何一件事情。」

鑒於年輕一代學習習慣有所改變, 我們應該詳細檢視那些長久以來已確認的古舊教與學理論。為此我們提出一些問題 (Siu (2008/2006); 蕭文強, (2009/2010b))。

(1) 應該怎樣利用 IT (Information Technology, 信息技術 ) 使學生學得更好, 而不妨礙他們進行縝密分析和深入思考。

(2) 可以怎樣保證「發現法」學習不等同於誤打誤撞的嘗試。

(3) 如何保證富於想像的思考不等同於漫不經心的態度、同時進行多項工作不一定要粗心和倉促、使用 IT 不是未經思考而只按照指示一步一步去做。

結束前, 我想介紹著名益智遊戲和圖形設計家 Scott Kim 的一幅作品, 表現出「教」 (Teach) 和「學」(Learn) 其實是一體兩面 (Kim (1981)), 把 Teach 倒轉來看便是 Learn !

誠然, 二千多年前中國古籍《禮記 $\cdot$ 學記》有這樣的記載: 「故曰: 教學相長也。〈兌命〉曰: 「學學半。」

附錄

參考資料

1. G. Highet (1950). The Art of Teaching, Vintage Books, New York.

2. S. Kim (1981). Inversions: A Catalog of Calligraphic Cartwheels, Byte Books, Peterborough.

3. A. McIntosh, D. Quadling (1975). Arithmogons, Mathematics Teaching, 70, 18-23.

4. E. E. Moise (1973). Jobs, training and education for mathematicians, Notices of the American Mathematical Society, 20, 217-221.

5. R. E. Moritz (1914). Memorabilia Mathematica, or the Philomath's Quotation-book, Macmillan Company, New York.

6. M. K. Siu (2000). "Less is more" or "Less is less"? Undergraduate mathematics education in the era of mass education, Themes in Education, 1(2), 163-171.

7. M. K. Siu and C. Tzanakis (2004). History of mathematics in classroom teaching: Appetizer? main course? Or dessert? Mediterranean Journal of Research in Mathematics Education, 3 (1-2), v-x.

8. M. K. Siu (2008/2006). Mathematics, mathematics education, and the mouse, AMS/IP Studies in Advanced Mathematics, 42, 861-874; reprinted in Mathematical Medley, 33(2) 19-33.

9. M. K. Siu (2014). "Zhi yɪ xɪ ng nán (knowing is easy and doing is difficult)" or vice versa? ----- A Chinese mathematician's observation on HPM (History and Pedagogy of Mathematics) activities, in The First Sourcebook on Asian Research in Mathematics Education: China, Korea, Singapore, Japan, Malaysia and India, (Eds.) B. Sriraman, J. Cai, K. Lee, L. Fan, Y. Shimuzu, C. Lim, K. Subramaniam, Information Age Publishing, Charlotte, 27-48.

10. Stendhal (1836/1961). Vie de Henry Brulard, Editions Garnier, Paris; written in 1835/1836.

11. 蕭文強 (1995). 少者多也: 普及教育中的大學數學教育, 載於《香港數學教育的回顧與前瞻: 梁鑑添博士榮休文集》, 蕭文強編, 香港大學出版社, 109-118頁。

12. 蕭文強 (2009/2010a).“不, 我不在數學課堂運用數學史。為什麼?”, 載於蕭文強, 《心中有數》, 九章出版社, 120-135頁; 大連理工大學出版社, 155-173頁。

13. 蕭文強 (2009/2010b). 數學、數學教育和滑鼠, 載於蕭文強 , 《心中有數》, 九章出版社, 31-49 頁; 大連理工大學出版社, 34-56頁。

---本文作者為香港大學數學系退休教授---