39305 四階幻方探秘

終極密碼

遊戲規則:本遊戲為猜密碼的遊戲。密碼為0到100之間的其中1個整數,電腦會提示密碼的所在範圍,玩家必須在6次之內猜到密碼才能過關。
★ 終極密碼為0到100之間 ★
您共有六次機會

一、緒言

劉曾适先生曾於 1964$\sim$65 年間研究 $4\times 4$ 幻方 (magic square of order 4), 自行發展出一套方法找出共 880 種, 並全數整理排序。 到 2000 年左右, 他又重新整理, 寫成《幻方探秘》一書的手稿。 本文乃根據該稿, 用較為簡潔的數學語言改寫成通俗文字。

二、從三階幻方談起

在探討四階幻方前, 應先探討三階幻方。 大家應該都看過這一三階幻方 : $\left[\begin{array}{ccc}~4~&~9~&~2~\\ 3&5&7\\ 8&1&6\end{array}\right]$。 將 1 到 9 的九個數字排列成方陣, 其中各行 (columns)、 各列 (rows) 及兩個對角線 (diagonals) 三數字的和均為 15。

《易 $\cdot$ 繫辭》上有「河出圖, 洛出書」一語, 所謂《洛書》指的是右邊這一圖, 相傳四、五千年前就出現了。 說穿了, 洛書就是三階幻方的圖像表示。 我國漢代稱此種幻方為「九宮」。

三階幻方共有幾種? 將這一幻方逆時鐘旋轉 (rotation) $90^\circ$, 或旋轉 $180^\circ$, 或旋轉 $270^\circ$, 或以對角線為軸轉置 (transposition), 共可得 8 個型; 但因為彼此相關, 我們將此 8個型當成一種。 不難證明, 三階幻方就只有一種。

此 8 型幻方如何排序? 先比左上角數字 --- 愈小愈放在前頭, 再比其右的數字, 再比更其右的數字, $\cdots$ 然後依序比下一列, $\cdots$。 把排在最前頭的作為代表型, 則三階幻方的代表型是 $\left[\begin{array}{ccc}~2~&~7~&~6~\\9&5&1\\ 4&3&8\end{array}\right]\hbox{。}$

為研究方便, 我們先將幻方「降級」--- 每個數字都減 1, 然後轉化為 3 進位表示法, 再分解為兩個三階「元方」 (elemental magic squares)1 1 這裡, 「元方」特指可用以拼合成幻方的基元方陣。 $n$ 階元方的每一元素數字都屬 $\{0,1,\ldots,n-1\}$, 而每行與每列諸數字的和都等於 $\frac 12 n(n-1)$。 的 「拼合」2 2 兩個 $n$ 階元方 $[a_{ij}]$ 與 $[b_{ij}]$ 的「拼合」記為 $\underline{[a_{ij}][b_{ij}]}$, 定義為 $[a_{ij} b_{ij} ]$, 其中每一元素 $a_{ij} b_{ij}$ 是 $n$ 進位數, 其值是 $n\cdot a_{ij}+b_{ij}$。, 如下:

$\left[\begin{array}{ccc}~2~&~7~&~6~\\ 9&5&1\\ 4&3&8\end{array}\right] {\buildrel \hbox{降級}\over\Rightarrow} \left[\begin{array}{ccc} ~1~&~6~&~5~\\ 8&4&0\\ 3&2&7\end{array}\right] {\buildrel \hbox{轉化}\over\Rightarrow} \left[\begin{array}{ccc}~01~&~20~&~12~\\ 22&11&00\\ 10&02&21\end{array}\right] {\buildrel \hbox{分解}\over\Rightarrow} \underline{\left[\begin{array}{ccc}~0~&~2~&~1~\\ 2&1&0\\ 1&0&2\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}~1~&~0~&~2~\\ 2&1&0\\ 0&2&1\end{array}\right]} $。

用符號表示: 若 ${\bf M}$ 代表三階幻方 $\left[\begin{array}{ccc}~2~&~7~&~6~\\9&5&1\\4&3&8\end{array}\right]$, ${\bf L}$ 代表三階元方 $\left[\begin{array}{ccc}~0~&~2~&~1~\\ 2&1&0\\ 1&0&2\end{array}\right]$, 則 ${\bf M}=3{\bf L}+{\bf L}'''+{\bf I}\Leftrightarrow \underline{{\bf L} {\bf L}'''}$; 在此, ${\bf L}'''$ 表示 ${\bf L}$ 逆時鐘轉 $90^\circ$ (順時鐘轉 $270^\circ$), ${\bf I}$ 代表三階 1 方陣 $\left[\begin{array}{ccc}~1~&~1~&~1~\\ 1&1&1\\ 1&1&1\end{array}\right]$, _________ 表示兩個元方的拼合, $\Leftrightarrow $ 表示左右兩者相當 (equivalent)。 又, 轉置的符號記為 $^\sim$, 則顯然 $\tilde {\bf L}={\bf L}$。

三階元方只有一種, 但有四型; 前述 ${\bf L}$ 是代表型, 另外三型依上述排序記為 ${\bf L}'''$、 ${\bf L}'$ 及 ${\bf L}''$, 分別表示順時鐘旋轉 $270^\circ$, 或旋轉 $90^\circ$ 及旋轉 $180^\circ$。 這四型元方共有 16 種拼合方式, 拼出來的不一定是幻方, 例如 $\underline{{\bf L}{\bf L}}$ 或 $\underline{{\bf L}{\bf L}''}$; 但若拼出幻方, 則不外前述八型, 都屬同一種, 例如 ${\widetilde{\underline{{\bf L}{\bf L}'''}}}=\underline{{\bf L}{\bf L}'}$。

三、高階幻方

由上述推而廣之, 我們可以定義 $n$ 階幻方 (magic square of order $n$):

將 1 到 $n^2$ 的 $n^2$ 個自然數排成方陣 ${\bf M}\equiv [m_{ij} ]$, $i,j\in\{1,2,3,\ldots,n\}$, 其中元素滿足下列關係者, 稱之為 $n$ 階幻方: $$\sum_{k=1}^n m_{ik}=\sum_{k=1}^n m_{kl}=\sum_{k=1}^n m_{kk}=\sum_{k=1}^n m'_{kk}=\frac n2(n^2+1),$$

上式中, $m'_{ij}$ 係方陣 ${\bf M}'\equiv [m'_{ij}]$ 的元素, 而 ${\bf M}'$ 是 ${\bf M}$ 順時鐘旋轉 $90^\circ$ 後的方陣。

換言之, $n$ 階幻方的各行、 各列及兩個對角線上的 $n$ 個元素的和均相等, 為 $\frac n2 (n^2+1)$。

我們約定 $n$ 階幻方的排序方式: $m_{11}$ 較小的排在最前; $m_{11}$ 相同時, $m_{12}$ 較小的排在前; $m_{12}$ 又相同時, 則 $m_{13}$ 較小的排在前; 依此類推。 比較了第一列後, 再比較第二列; 依此類推。

四、四階幻方

根據前面的原理, 我們來研究四階幻方。 四階幻方式將 1 到 16 的數字排在 $4\times 4$ 的方陣裡, 各行、 各列及對角線 4 個元素的和是 34。

10世紀的印度廟 (the Parshvanath Jain temple in Khajuraho)中展示一饒富趣味的

幻方 $\left[\begin{array}{rrrr}~~7&~12&~~1&~~14\\ 2&13&8&11\\ 16&3&~10&5\\ 9&6&15&4\end{array}\right]$, 下文再說。 我國宋代數學家楊輝 (約1238$\sim$約1298)在他的《續古摘奇演算法》上卷中製作了十三幅「縱橫圖」, 其中包括一幅四階的「陽圖」: $\left[\begin{array}{rrrr}4&9&5&16\\ 14&7&11&2\\ 15&6&~10&3\\ 1&~12&8&~13\end{array}\right]$。

後人研究四階幻方, 共得 880 種, 1693 年法國人 de Bessy 曾予列出3 3 Bernard Frenicle de Bessy, $\textit{Des Quarrez ou Tables Magiques.}$。 但各人用的方法五花八門, 欠缺系統。 今日用計算機來計算並列出所有四階幻方, 當非難事, 網路上也可以查到所有四階幻方的資料4 4 www.magic-squares.net/order4list.htm.。 但有系統地從基本原理加以探究, 方具教育意義。

五、四階幻方的形成

先從第 1 種 ${\bf M}_{1}=\left[\begin{array}{rrrr} ~1&~2&15&~16\\ 12&~14&3&5\\ 13&7&~10&4\\ 8&11&6&9\end{array}\right]$ 與第 880 種 ${\bf M}_{880}=\left[\begin{array}{rrrr} 7&~14&4&9\\ 15&6&~12&1\\ 2&3&13&~16\\ 10&11&5&8\end{array}\right]$ 探討起。 比照前述三階幻方的做法:先降級, 轉化為 4 進位表示法, 再分解: $ \left[\begin{array}{rrrr} ~1&~2&15&~16\\ 12&~14&3&5\\ 13&7&~10&4\\ 8&11&6&9\end{array}\right] {\buildrel \hbox{降級}\over\Rightarrow} {\buildrel \hbox{轉化}\over\Rightarrow} \left[\begin{array}{cccc} ~00~&~01~&~32~&~33~\\ 23&31&02&10\\ 30&12&21&03\\ 13&22&11&20\\ \end{array}\right]$
$ {\buildrel \hbox{分解}\over\Rightarrow} \underline{\left[\begin{array}{cccc} ~0~&~0~&~3~&~3~\\ 2&3&0&1\\ 3&1&2&0\\ 1&2&1&2\\ \end{array}\right] \left[\begin{array}{cccc} ~0~&~1~&~2~&~3~\\ 3&1&2&0\\ 0&2&1&3\\ 3&2&1&0\\ \end{array}\right]}$ $ \left[\begin{array}{rrrr} ~7&~14&4&~9\\ 15&~6&~12&1\\ 2&3&~13&~16\\ 10&11&5&8\end{array}\right] {\buildrel \hbox{降級}\over\Rightarrow} {\buildrel \hbox{轉化}\over\Rightarrow} \left[\begin{array}{cccc} ~12~&~31~&~03~&~20~\\ 32&11&23&00\\ 01&02&30&33\\ 21&22&10&13\\ \end{array}\right]$
$ {\buildrel \hbox{分解}\over\Rightarrow} \underline{\left[\begin{array}{cccc} ~1~&~3~&~0~&~2~\\ 3&1&2&0\\ 0&0&3&3\\ 2&2&1&1\\ \end{array}\right] \left[\begin{array}{cccc} ~2~&~1~&~3~&~0~\\ 2&1&3&0\\ 1&2&0&3\\ 1&2&0&3\\ \end{array}\right]}$ 於是看到幾種四階「元方」, 其性質卻大為不同:各元方的各行與各列數字和雖都是 6, 但 $\left[\begin{array}{cccc}~0~&~0~&~3~&~3~\\ 2&3&0&1\\ 3&1&2&0\\ 1&2&1&2\end{array}\right]$ 的兩對角線數字和各為 7 與 5, $\left[\begin{array}{cccc}~0~&~1~&~2~&~3~\\ 3&1&2&0\\ 0&2&1&3\\ 3&2&1&0\end{array}\right]$ 的兩對角線數字和各為 2 與 10。 $\left[\begin{array}{cccc}~1~&~3~&~0~&~2~\\ 3&1&2&0\\ 0&0&3&3\\ 2&2&1&1\end{array}\right]$ 與 $\left[\begin{array}{cccc}~2~&~1~&~3~&~0~\\ 2&1&3&0\\ 1&2&0&3\\ 1&2&0&3\end{array}\right]$ 的兩對角線數字和則都是 6。 為什麼會是 7、5, 2、10, 6、6 這些數字出現呢? 因為降級後的幻方, 四個數字和必須是 30, 而 $4m+n=30$ 這一整數方程式的正整數解不難用代入法求得, 有下列: $(m,n)=(6,6),(7,2)\ \hbox{或}\ (5,10)\hbox{。}$

顯然, 欲研究四階幻方, 應先弄清楚 0, 1, 2, 3 四個數字組成的「元方」。 將兩個元方「拼合」, 復加篩選, 即可望獲得所有的四階幻方。

先將總和為 6 的 0 到 3 的數列列出, 發現共有 40 組 (0 0 3 3類有 6 組, 0 1 2 3 類有 24 組, 1 1 1 3 類有 4 組, 1 1 2 2 類有 6 組), 依序為 : 0 0 3 3, 0 1 2 3, $\ldots$, 3 3 0 0。

再將這些數列組成「元方」, 要求其各行、各列的數目和均為 6。 可以組成幻方的元方是其中一部份, 可分為三大類, 分別命名為 ${\bf A}$、${\bf B}$ 及 ${\bf C}$。 ${\bf A}$ 類元方的對角線上諸數字的和都為 6; ${\bf B}$ 類元方對角線上諸數字的和, 一為 7, 一為 5; ${\bf C}$ 類元方對角線上諸數字的和, 一為 2, 一為 10。 顯然, ${\bf A}$ 類元方須與 ${\bf A}$ 類元方拼合, 而 ${\bf B}$ 類元方須與 ${\bf C}$ 類元方拼合, 才能形成幻方。 換言之, 四階幻方須為 $\underline{{\bf A}{\bf A}}$ 或 $\underline{{\bf B}{\bf C}}$ 之形式。

其次探討 ${\bf A}$, 共得 38 種, 依序名為 ${\bf A}_1$ 到 ${\bf A}_{38}$, 例舉其各代表型如下: ${\bf A}_1=\left[\begin{array}{cccc}~0~&~0~&~3~&~3~\\ 1&3&0&2\\ 3&1&2&0\\ 2&2&1&1\end{array}\right],\quad {\bf A}_2=\left[\begin{array}{cccc}~0~&~0~&~3~&~3~\\ 2&2&1&1\\ 3&1&2&0\\ 1&3&0&2\end{array}\right],\ldots,\quad {\bf A}_{38}=\left[\begin{array}{cccc}~1~&~3~&~0~&~2~\\ 3&2&1&0\\ 0&1&2&3\\ 2&0&3&1\end{array}\right]\hbox{。}$ ${\bf B}$ 共有 52 種, 依序名為 ${\bf B}_1$ 到 ${\bf B}_{52}$, 例舉其各代表型如下: ${\bf B}_1=\left[\begin{array}{cccc}~0~&~0~&~3~&~3~\\ 1&2&1&2\\ 3&1&2&0\\ 2&3&0&1\end{array}\right],\quad {\bf B}_2=\left[\begin{array}{cccc}~0~&~0~&~3~&~3~\\ 1&3&0&2\\ 2&1&2&1\\ 3&2&1&0\end{array}\right],\ldots,\quad {\bf B}_{52}=\left[\begin{array}{cccc}~1~&~2~&~1~&~2~\\ 3&3&0&0\\ 0&1&2&3\\ 2&0&3&1\end{array}\right]\hbox{。}$ ${\bf C}$ 共有 24 種, 依序名為 ${\bf C}_1$ 到 ${\bf C}_{24}$, 例舉其各代表型如下: ${\bf C}_1=\left[\begin{array}{cccc}~0~&~0~&~3~&~3~\\ 1&1&2&2\\ 2&2&1&1\\ 3&3&0&0\end{array}\right],\quad {\bf C}_2=\left[\begin{array}{cccc}~0~&~0~&~3~&~3~\\ 1&1&2&2\\ 3&3&0&0\\ 2&2&1&1\end{array}\right],\ldots,\quad {\bf C}_{24}=\left[\begin{array}{cccc}~1~&~2~&~1~&~2~\\ 3&0&3&0\\ 0&3&0&3\\ 2&1&2&1\end{array}\right]\hbox{。}$

進一步探究, 可發現 $\underline{{\bf A}{\bf A}}$ 可共形成 656 種幻方, $\underline{{\bf B}{\bf C}}$ 可共形成 224 種, 合共 880 種。 以下是一些例子: ${\bf M}_{1}\Leftrightarrow \underline{{\bf B}_5{\bf C}_{13}}$, ${\bf M}_{2}\Leftrightarrow \underline{{\bf B}_{10}\widetilde {{\bf C}_{1}}}$, ${\bf M}_{3}\Leftrightarrow \underline{{\bf B}_{10}\widetilde{{\bf C}_{2}}}$, ${\bf M}_{4}\Leftrightarrow \underline{{\bf B}_5{{\bf C}_{3}}''}$, ${\bf M}_{5}\Leftrightarrow \underline{{\bf B}_5{\bf C}_{17}}$, ${\bf M}_{6}\Leftrightarrow \underline{{\bf B}_{10} {{\bf C}_{5}}''}$, ${\bf M}_{7}\Leftrightarrow \underline{{\bf B}_{10}{\bf C}_{16}}$, ${\bf M}_{8}\Leftrightarrow \underline{{\bf A}_1{\bf A}_{25}}$, $\ldots$, ${\bf M}_{880}\Leftrightarrow \underline{{{\bf A}_{36}}''{{\bf A}_{5}}'}$。

總之, 880 種四階幻方的來源元方都已找出, 有完整的表列可供查考。 每一種幻方有其特定的編號, 當無疑義。

六、完美幻方

在 880 種四階幻方中, 有一些 (共 48 種)特別有趣, 因為它們每個經「輪轉變換」 (cyclic transformation, 指第 1 行 $\rightarrow$ 第 2 行 $\rightarrow$ 第 3 行 $\rightarrow$ 第 4 行 $\rightarrow$ 第 1 行, 或第 1 列 $\rightarrow$ 第 2 列 $\rightarrow$ 第 3 列 $\rightarrow$ 第 4 列 $\rightarrow$ 第 1 列) 後, 變為另一種幻方。 這 48 種可輪轉幻方 (cyclic magic squares) 各歸於三個群 (groups), 每群 16 種。

這些幻方的每相鄰四格的數字的和, 或每個正方形四角數字的和, 或每個長條矩型的四角數字的和, 都是 34。 舉例: $${\bf M}_{102}= \left[\begin{array}{rrrr}~1&~8&~10&~15\\ 12&13&3&6\\ 7&2&16&9\\ ~14&~11&5&4\end{array}\right]\Leftrightarrow \underline{{\bf A}_9{\bf A}_{29}}\hbox{。}$$

不難發現, 這類幻方的任意斜線上任何兩個跳間數字的和都是17。 在文獻中, 有稱此類幻方為「完美幻方」 (perfect magic squares)的。

不難證明, 所有完美幻方須是 $\underline{{\bf A}{\bf A}}$ 形式, 其元方也必須具可輪轉性。 具輪轉性的元方共有7種, 臚列其代表型如下: ${\bf A}_9=\left[\begin{array}{cccc}\ 0\ &\ 1\ &\ 2\ &\ 3\ \\ 2&3&0&1\\ 1&0&3&2\\ 3&2&1&0\end{array}\right], {\bf A}_{11}=\left[\begin{array}{cccc}\ 0\ &\ 1\ &\ 2\ &\ 3\ \\ 3&2&1&0\\ 1&0&3&2\\ 2&3&0&1\end{array}\right], {\bf A}_{16}=\left[\begin{array}{cccc}\ 0\ &\ 1\ &\ 3\ &\ 2\ \\ 3&2&0&1\\ 0&1&3&2\\ 3&2&0&1\end{array}\right], {\bf A}_{20}=\left[\begin{array}{cccc}\ 0\ &\ 2\ &\ 1\ &\ 3\ \\ 3&1&2&0\\ 2&0&3&1\\ 1&3&0&2\end{array}\right]$, $ {\bf A}_{23}=\left[\begin{array}{cccc}\ 0\ &\ 2\ &\ 3\ &\ 1\ \\ 3&1&0&2\\ 0&2&3&1\\ 3&1&0&2\end{array}\right], {\bf A}_{29}=\left[\begin{array}{cccc}\ 0\ &\ 3\ &\ 1\ &\ 2\ \\ 3&0&2&1\\ 2&1&3&0\\ 1&2&0&3\end{array}\right], {\bf A}_{34}=\left[\begin{array}{cccc}\ 1\ &\ 0\ &\ 3\ &\ 2\ \\ 3&2&1&0\\ 0&1&2&3\\ 2&3&0&1\end{array}\right]$。

其中 ${\bf A}_{9}$、 ${\bf A}_{11}$、 ${\bf A}_{20}$、 ${\bf A}_{29}$ 與 ${\bf A}_{34}$ 屬同一類, 其每行與每列都有 0, 1, 2, 3 四個數字, 乃是一些特殊的「拉丁方陣」 (Latin squares); ${\bf A}_{11}$ 與 ${\bf A}_{20}$ 的兩對角線也都含此四數字, 另三種則不同。 ${\bf A}_{16}$ 與 ${\bf A}_{23}$ 屬另一類, 其每列與兩對角線都有 0, 1, 2, 3 四種數字, 而每行則非是。

前述第一類可輪轉拉丁方陣元方共可拼合成兩群 (32 種) 完美幻方, 且名為 PM1 及 PM2。

PM1 群包含 : ${\bf M}_{102}$、 ${\bf M}_{174}$、 ${\bf M}_{785}$、 ${\bf M}_{690}$; ${\bf M}_{104}$、 ${\bf M}_{201}$、 ${\bf M}_{473}$、 ${\bf M}_{565}$; ${\bf M}_{828}$、 ${\bf M}_{365}$、 ${\bf M}_{279}$、 ${\bf M}_{530}$; ${\bf M}_{623}$、 ${\bf M}_{393}$、 ${\bf M}_{281}$、 ${\bf M}_{748}$。 ${\bf M}_{102}$ 已見前述, 可作此群的代表; 而 ${\bf M}_{623}=$ $\left[\begin{array}{rrrr} ~4&~5&~11&~14\\ 15&~10&8&1\\ 6&3&13&12\\ ~9&~16&2&7\end{array}\right]$ 就是前述10世紀出現在印度的那個幻方的轉型。

PM2 群包含: ${\bf M}_{107}$、 ${\bf M}_{171}$、 ${\bf M}_{788}$、 ${\bf M}_{691}$; ${\bf M}_{109}$、 ${\bf M}_{204}$、 ${\bf M}_{294}$、 ${\bf M}_{396}$; ${\bf M}_{839}$、 ${\bf M}_{532}$、 ${\bf M}_{292}$、 ${\bf M}_{355}$; ${\bf M}_{621}$、 ${\bf M}_{560}$、 ${\bf M}_{469}$、 ${\bf M}_{744}$。 ${\bf M}_{107}=\left[\begin{array}{rrrr} ~1&~8&~11&~14\\ 12&~13&2&7\\ 6&3&16&9\\ 15&~10&5&4\end{array}\right]\Leftrightarrow {\bf A}_9\widetilde {{\bf A}_{29}}$ 可作此群的代表。

前述第二類可輪轉元方又可拼合成另一群 (16種)完美幻方, 且名為 PM3。 PM3 群包含: ${\bf M}_{116}$、 ${\bf M}_{177}$、 ${\bf M}_{485}$、 ${\bf M}_{537}$; ${\bf M}_{117}$、 ${\bf M}_{178}$、 ${\bf M}_{305}$、 ${\bf M}_{375}$; ${\bf M}_{647}$、 ${\bf M}_{704}$、 ${\bf M}_{304}$、 ${\bf M}_{372}$; ${\bf M}_{646}$、 ${\bf M}_{702}$、 ${\bf M}_{483}$、 ${\bf M}_{536}$。 ${\bf M}_{116}=\left[\begin{array}{rrrr} ~1&~8&~13&~12\\ 14&~11&2&7\\ 4&5&16&9\\ 15&~10&3&6\end{array}\right]\Leftrightarrow {\bf A}_{16}\widetilde {{\bf A}_{16}}$ 可作此群的代表。

進一步觀察, 可發現以上三群間還存在一種微妙的關係 --- 彼此可以轉換, 因此可說是「同宗」。 這一轉換關係可名為「心隅對調」 (center-corner exchange) 即將幻方中心四個數字與四隅的四個數字各自調換。 例如屬於 PM1 群的第 1 種 ${\bf M}_{102} (\Leftrightarrow \underline{{\bf A}_9{\bf A}_{29}})$ 經心隅對調, 再旋轉 $90^\circ$, 就變成了屬於 PM2 群的第 11 種 ${\bf M}_{292} (\Leftrightarrow \underline{{\bf A}_9{{\bf A}_{29}}'})$ : $ \left[\begin{array}{rrrr} ~1&~8&10&~15\\ 12&~13&3&6\\ 7&2&~16&9\\ 14&11&5&4\end{array}\right] {\buildrel \hbox{心隅對調}\over\Rightarrow} \left[\begin{array}{rrrr} 13~&~8~&~10&~3\\ 12&1&15&6\\ 7&~14&4&9\\ 2&11&5&~16\\ \end{array}\right] {\buildrel \hbox{旋轉}\over\Rightarrow} \left[\begin{array}{rrrr} ~2&~7&~12&~13\\ 11&~14&1&8\\ 5&4&15&10\\ 16&9&6&3\\ \end{array}\right]\hbox{。} $

又如屬於 PM1 群的第 2 種 ${\bf M}_{174} (\Leftrightarrow \underline{{\bf A}_{20}\widetilde{{{\bf A}_{20}}'}})$ 經心隅對調, 再旋轉 $90^\circ$, 就變成了屬於 PM3 群的第 16 種 ${\bf M}_{536} (\Leftrightarrow \underline{{\bf A}_{23}\widetilde{{{\bf A}_{23}}''}})$。

這 48 種完美幻方 (共 384 型) 不止各自本身有著美妙的平衡 (balance)性質, 其彼此間又存在著如此奇妙的聯繫, 不禁讓人讚嘆!

七、結語

在眾多完美幻方中, 如要舉一種最具代表性的, 筆者以為非 ${\bf M}_{828} (\Leftrightarrow \underline{{\bf A}_{34}\widetilde{{{\bf A}_{29}}'}})$ 莫屬。 這一幻方相對於中心點而言, 特別的平衡, 因為除了具有前述完美幻方的諸多性質外, 單數格內諸數字的平方和剛好等於雙數格內諸數字的平方和: $1^2+7^2+13^2+11^2+10^2+16^2+6^2+4^2=12^2+14^2+8^2+2^2+3^2+5^2+15^2+9^2=748$。

筆者在2001年曾寫一首詩〈異元太衡 --- 完美幻方頌〉, 引申念及「和而不同」、異元共生的政治哲理:

    連續數目一十六, 排成四方有妙形:行列斜連和相等, 各方四角會加成。
    橫豎輪旋呈異貌, 心隅對調見同宗。小道可觀蘊啟示, 異元共濟生太衡。

又, 德國人 Albrecht Dürer 於 1514 年的繪畫裡, 顯示牆上掛了一幅幻方的圖; 換成本文的表示法, 乃 ${\bf M}_{175}=$ $\left[\begin{array}{rrrr} ~1&~12&~8&~13\\ 14&~7&~11&2\\ 15&6&10&3\\ 4&9&5&16\\ \end{array}\right]$, 與前述楊輝的「陽圖」 (${\bf M}_{176}$ 的轉型) 相類似。它雖非可輪轉, 卻有高度的規則性 --- 相加為17的

任何兩個數字都排在對稱的位置上。 而且, 兩對角線上所有數字的平方和剛好等於其它所有數字的平方和。

從以上探討四階幻方所用的方法, 當可窺見高階幻方的堂奧。

---本文作者任教東吳大學---