39102 數學教育─ W. Thurston 談美國數學教育

終極密碼

遊戲規則:本遊戲為猜密碼的遊戲。密碼為0到100之間的其中1個整數,電腦會提示密碼的所在範圍,玩家必須在6次之內猜到密碼才能過關。
★ 終極密碼為0到100之間 ★
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William Thurston (1946$\sim$2012), 1982年菲爾茲獎得主, 是低維拓撲研究的領導人物,教學研究之外也關懷社會議題。
本文 「Mathematical Education」 原載 Notices of the AMS, 37(1990), 844-850 (副標題為本刊所加), 得到作者家人及

---編輯室

數學教育的現況令人難以接受, 這個事實雖然備受大眾關注, 真正的改變卻是緩慢的。

決策者往往不能理解數學或是數學教育的本質。 不同學校系統的「改革」各行其是, 常背道而馳, 突顯了我們不能只認知到問題的存在及重要性, 必須對問題有更深入的了解。

對於美國能否找到這些問題的解決方法, 我十分樂觀。 因為不了解產生的問題是可以解決的, 我們缺乏的不是奉獻的精神、資源和才智, 而是 --- 方向。

1. 徵候

數學教育的問題有許多徵候。 現今美國主修數學的大學生約是 15 年前的一半; 研究生中儘管外籍生占了一些比例, 仍然不到15年前的二分之一。 此外, 美國學生在標準化測驗的各方面表現, 都低於其它工業化國家的學生。

美國成年人碰到數學家的典型反應, 令人沮喪, 他們滿懷抱歉地回憶修過的最後一門數學課, 通常就是一門他們跟不上進度、感到失落的課。

許多公司將缺乏數學能力視為人力的主要問題。 科技使我們在一些工作上, 不再需要具備如加總漢堡訂單等基礎數學的能力, 也取代了不需要特別技能的工作, 像是生產線的工作, 同時也創造出許多需要相當程度複雜數學的其它行業。

大學的數學課堂裡, 學生少有反應, 怯於思考問題的各種面向, 怯於獨立思考。 走訪不同年級的課堂, 可以發現學生的活力及自動自發的程度, 隨著年齡的增長急遽下滑。 年輕學子對數學與生俱來的興趣和好奇心似乎已經消失殆盡。

比起二十年前, 在大多數情況下, 已經很難要求學生做課外的作業或學習。

即便是高中數學(包含微積分)表現優異的學生, 基礎數學知識仍嫌狹窄。

2. 分層和分割 --- 各自為政

問題的主要來源, 同時也是解決問題的主要障礙, 是龐大的數學教育體系, 上自研究所下至幼稚園的層層劃分。 尤其中學數學和大學數學教師間鮮少交流, 從事大學課程改革和從事研究的學者缺乏充分的溝通。 這種分立部分由於多個專業機構林立, 包含主要代表數學研究的 American Mathematical Society (AMS)、 關注大學數學教育的 Mathematical Association of America (MAA) 以及主要由中學數學第一線教師組成的 National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), 另外更有代表兩年制學院、 應用數學、統計、作業研究和資訊工程等的機構。

AMS 和 MAA 兩個組織中, 只有三分之一的成員重疊, 多數 AMS 的成員甚至不知道 NCTM 的存在, 反之亦然。 除了透過自己的孩子, 從事學術研究的數學家和學校老師少有接觸。 大多數的師培單位幾乎沒有研究學者。 儘管數學研究和師資培育是許多大學的強項, 大部分從事數學研究的學者都未參與師資培育的工作。

雪上加霜的是分化問題: 中小學教育被分成許多個別的學區和學校, 他們是真正的決策單位, 大學教育則被切割成多個擁有決策大權的系所。 雖然許多人在思考這些問題而且付諸行動想要解決, 這些個別的努力也頗為成功, 可惜彼此間的整合及心得分享少之又少。

3. 數學是不同於一般的「高」科目

數學在教育上需要特別注意的特點是它的「高度」, 也就是一個概念建立在先備概念上的程度。 數學的推理可以很清楚明確, 原則一旦建立就能依理而行, 也就是說要一下子建立起非常可靠、 極為有力, 在概念上非常高的結構是可能的。

這個結構不像樹, 反倒像有許多相連支柱的鷹架。 鷹架一旦穩固, 往上增建不難, 但若前一層不穩, 繼續擴建根本不可能。

教學的困難在於修課學生對先備知識的精熟程度不一, 對於懂得多少和哪些不懂, 往往有所隱瞞。 舉例來說, 很多修微積分的學生做分數加法時, 至少, 在符號上會出錯。 典型的錯誤如 $$ \frac{a}{b}+\frac{c}{d}= \frac{a+c}{b+d} $$ 這個式子, 比 $$ \frac{ad+cb}{bd} $$ 來的簡單得多。

無法掌握分數的加法讓學生有罪惡感, 即便是對自己也不願承認, 更不願請教他人如何加減分數, 以及為什麼要這樣子做。

對於已經懂得分數加法的人, 這其實是很無趣的課題, 但它是代數不可或缺的技能, 而代數又是微積分的主要工具。 對於個別的學生, 要找出根基不穩的地方加以補強不怎麼困難; 但面對一個學生異質性很高的班級, 要拿捏教學內容的程度, 讓所有學生都能理解而又有趣並不容易。

4. 數學是門廣博的學問

數學也很廣博。 有許多在主要課程中從未探討過的主題, 在微積分中出現。 而教過的主題中, 也有許多有趣的分支領域未曾被探究。

在我父母的年代(1940年代), 大學代數是大學的第一門數學課, 過了不久微積分成為大學數學的第一門課, 到了 1960 年代初, 微積分成了明星高中的課程。 如今富裕學區的高中生大都上過大一微積分, 因此大部分頂尖大學優秀的數理科系學生, 在入學前就已經修過這門課。 像在普林斯頓大學(Princeton), 去年就有三分之二的新生, 至少能免修一學期的微積分。

隨著學習進程提前而來的代價, 是刪減分支主題的趨勢。 以我高中時為例, 一般會唸立體幾何、球面幾何和平面幾何, 現在這些主題已不復存在。 典型學生受到的數學教育, 形式是細長單薄的, 達到基礎能夠撐起的高度之後, 就無法成長, 最終停滯或一蹶不振。

而數學教育在社會對標準化測驗的日益依賴之下, 助長了內容延伸和窄化的趨勢。 標準化測驗的設計涵蓋大部分標準課程的主題, 如果測驗中出現只有半數學生唸過的主題, 將有失公平。 只要不失公平, 這種測驗作為數個評量的方式之一是不錯的。 然而, 好成績常被當作目標, 為了提高分數, 議員、 報紙和家長向督學及學校董事會施壓, 督學和學校董事會向校長施壓, 校長向老師施壓, 老師再向學生施壓, 以至於許多數學課程經過特別設計, 用來提高某些標準化測驗的成績, 著實可悲。

我們不會只用一根溫度計來診斷肺炎, 也不會以為在病人嘴裡放冰塊就可以治療, 同樣的, 我們應該用類似的明智態度看待數學教育中的評量。

如果能改弦更張, 從一系列標準課程轉變為多元化的課程, 多包含些較接近實際的主題, 以此削弱數學教育「高」 的型態, 更能達到數學教育長遠的目的。 諸如有限數學(finite mathematics)及機率的課程都是這方面的趨勢, 當然, 還有更多發展的空間。

5. 數學是直觀而且實際的

學生普遍和現實及數學直覺的本質脫節, 從幼稚園到中學, 他們常常遇到老師無法以平常心看待不同於常規的事。 小孩子會用許多千奇百怪的方法解數學, 但是跳脫傳統的做法常受到老師的否定, 一方面了解孩子的思維和語彙並不容易, 老師也沒有試圖理解, 另一方面老師認為用別的方法或解釋並不恰當。

學生因為獨立思考及自我表達受到壓抑, 在進入大學的時候, 養成一種習性, 想先知道什麼是必須學的; 只要上課內容脫離教學大綱和課本, 就有學生問考試是否要考。

除非數學與人們有實際的連結, 否則一門課一旦結束, 學生幾乎不可能再想到數學或是運用數學。

6. 資優與競賽

除了著重考試外, 數學資賦優異及跳級也受到強調。 對天資聰穎的學生來說, 數學這門科目要跳級學習相對容易。

與資優相關的問題有許多, 跳級的學生往往在日後發現基礎知識出現斷層, 在這個節骨眼上, 卻可能因為尷尬, 不敢承認而裝懂, 後果往往不堪設想。

另一個問題在於, 早慧的學生了解到, 獎賞來自於「超越」同齡者, 而不是學習和思考的品質。 但是學習是一生的事, 持這樣的態度是短視的。 到了 25 或 30 歲時, 他人會用工作能力, 而非資賦過人來評斷他們。 當其他有天賦但並未提早學習的人迎頭趕上, 自己變得跟一般人沒兩樣時, 常讓他們感到沮喪萬分。 這樣的問題在富裕學區更是雪上加霜, 父母常迫使孩子在他們真的準備好之前, 儘快地跳級。

第三個與跳級有關的是合群的問題。 年紀比較小的學生往往對數學課程的內容駕輕就熟, 卻很難融入其他修課學生之中。

相關的還有將數學看作比賽或一項體育賽事的流行趨勢。 在美國, 中學普遍成立數學聯盟, 來自各地區的中學生定期聚會, 在固定時間內解決給定的題目。

此外更有全州、全國和國際的比賽。 對獲得佳績的人來說, 這些競賽饒富趣味和教育意義。但是也有缺點, 這些競賽強化了是否擁有「數學天分」的觀念; 在強調解題速度的同時, 犧牲了深度的思考和推敲; 過度強調背後藏著一些花招的難題, 而不是較為實際, 需要有系統、持續探討的問題。

許多解題速度不夠快或沒有經過練習的人, 因而感到氣餒, 但是若有充分的時間思考, 他們可能是擅長做問題的。 有些在競賽中名列前茅的人日後真的成為數學家, 但有許多頂尖數學家, 過去在數學競賽的表現並不出色。 速度對數學的確有幫助, 但只是助益之一。 對於那些沒有成為數學家的人, 數學競賽的應試技能跟他們的關係更是微乎其微。

這些競賽有點像拼字比賽。 擅長拼字和擅長寫作之間雖然有一些關聯, 但是州比賽的冠軍不見得有成為優秀作家的天賦, 有些寫作好手並不是拼字高手。 如果一般人將寫作與拼字的能力混為一談, 會讓許多未來可能成為作家的人因而卻步。

我認為解決上述問題的方法是建立一個系統, 利用數學的廣度, 讓學習能力強的學生在超越同齡的同儕前, 能深入題材並且涉獵一些與之相關的主題。

7. 迷悟之間

令人驚訝的是, 數學是能夠壓縮的。 你可能奮戰好一段時間, 一步一步多方設法, 研究一些過程或想法。 一旦真的了解問題, 洞悉全局, 心智就會產生巨大的壓縮, 你可以將之歸檔, 需要時快速全面地喚起記憶, 還能將它自如地運用在其它心智活動。伴隨這個壓縮而來的心得是做數學的真正喜悅之一。

但是即便是費了好一番功夫才掌握的數學概念, 要我們回頭來理解對這些概念仍然懵懂的人的思路, 卻很困難。 記得小學五年級的時候, 有一天我很驚訝地發現 134 除以 29 就是 134/29, 多麼簡便! 對於那時的我, 134 除以 29 是枯燥冗長的計算, 而 134/29 卻一點也不費力。 我很興奮地告訴父親這項重大發現, 他卻說這很理所當然, $a/b$ 和 $a$ 除以 $b$ 是一樣的意思, 對於他只是符號上小小的不同罷了。

有位學生寫到參訪一所小學的經歷。 他被要求去教小朋友分數的減法, 赫然發現第一次學習分數的減法要涉及的層面有多少, 而這是化約在他腦中再普通不過的事。

這樣的事在各個程度的數學中屢見不鮮、不斷發生。 那些得來不易、威力強大的工具, 數學家們用起來幾乎不假思索、得心應手, 對學生卻非如此。 數學家因而不容易了解學生的想法, 這個心理上的障礙使他們無法感同身受地傾聽學生的意見。

因此, 在數學教學中努力克服這個障礙、設法給學生足夠的空間, 讓他們有機會自行找出解決辦法, 尤其重要。

8. 勝任與退縮

同樣地, 程度較好的學生知道許多其他學生不知道的事情。 當他們賣弄數學詞彙, 彷彿所有受過教育的人都應該知道, 而你卻連一丁點概念也沒有時, 真的很受挫。 程度沒那麼好的學生並不知道, 只要時機成熟自然 也會(可以)學會這些理論及相關字彙, 而後能自如地運用。 記得在我還不了解諸如負數、小數、長除法、無窮、代數、變數、方程式、微積分、積分、微分、流形、向量、張量、函數層、 譜這些名詞之前, 常被這些數學詞彙和概念嚇到。 好長一段時間之後, 我才明白這是學習過程中的模式, 並且在面對不知道的數學概念時, 發展出一些免疫力。

老師們也常對數學感到害怕。 中學老師不太敢和大學老師交流, 對於大學教授是否接觸過他們所需處理的問題存疑, 這樣的存疑不無道理。 高中和大專院校教師之間的整體交流如此之少, 以至於很少有教授知道中小學的教育問題。 小學老師則對自身的理解沒有把握, 怯於與人交流。

9. 問題和解決之道是相同的

不同程度的數學教育, 上自研究所下至幼稚園, 面臨的問題和解決的方法大同小異。 缺乏溝通是其中一大缺失, 雙向溝通一旦開啟, 潛在的助益極大。

過去兩年來, 我接觸了參與不同程度數學教育的人士, 部分因為我是全國數學教育理事會 (Mathematical Sciences Education Board, MSEB) 的一員, 這是集合多元數學及教育背景人士的組織, 包含了一些老師。 我獲益匪淺。

1990年的春季班, 我和John Conway、Peter Doyle借用許多我學到的點子, 共同在普林斯頓大學開設一門新課程 --- 「幾何與想像」。 我們避免講課, 強調學生之間的分組討論, 以團隊方式授課。強調手作教材、合作學習以及問題解決。 我們要求學生寫日誌, 用好的英文完整寫下想法。最後每位學生在這堂課都完成一個主要的專題計畫。 上面提到的這些點子都是借用目前K-12(美國幼稚園到高中數學教育)的想法, 以 NCTM 課程標準為主。

為了製造課程的高潮, 我們辦了一場「幾何市集」, 跟科展有點像, 雖然沒有獎品, 但現場有爆米花機, 活動很有趣。 這門課比起過去我們教過的任何一門課, 都來的有生氣。 學生學了很多數學, 也解決一些過去我們在傳統大學課堂裡不敢提出的問題。

我們討論的主題之一就是數學教育, 學生們拿到本文的初稿後, 根據個人經驗寫出 70 篇反思後的論文。 他們的建議對本文的完成幫助很大。

10. 被排擠的群體

為何女性和非亞裔少數族群成為數學家的人這麼少?

我認為中小學數學教學及課程的貧乏與此大有關係。 學校教授數學的方式無法達到數學教育的真正目的, 要在中小學數學課的一般經驗中, 感受到數學的深度、 活潑、力度和廣度非常困難。我相信多數能精通上述面向而且最終成為科學家、 數學家或電腦程式設計師等等的學生, 都利用課外其它管道學習數學; 有時是家庭, 有時是書籍, 有時是一位特別的老師, 但更常透過學校的「書呆子(nerd)」團體學習。我高中時就隸屬於這樣的團體(雖然當時還沒有「nerd」一詞), 對此我十分感謝。 不過白人、亞裔男性之外的女性、西班牙裔或黑人要加入, 就另當別論了。

由於當前數學教育下的頂尖學生, 主要利用課外管道學習, 因此應該從改善課堂數學教學的品質, 來平衡課堂內外的落差, 特別是幫助黑人、西班牙裔及女性。 至於那些還不習慣數學講授模式的學生, 教學上不必降低程度, 應該從個人真實經驗出發, 這點格外重要。

學生會感到氣餒與課堂教學的品質大有關係。 我們對早慧、高分及競賽的強調, 放大了學生之間在其它地方原本就有的細微差異。

11. 目標及標準化測驗

數學教育的用處何在?

11.1. 生活中的數學

首先, 數學是日常生活的基本工具。 當你逡巡在商店的貨架之間, 看到 13 盎司的袋裝咖啡, 以及 16 盎司的罐裝咖啡, 罐裝標示醒目地寫著「加量23%」, 能否利用這些資訊, 決定要買哪個? 或者買了一輛有著各式賣點如融資、 折扣回饋及玩意的新車時, 是否了解到底是怎麼一回事? 如果多數人都懂的話, 這些把戲就無用武之地了。

其次, 數學推理是重要的公民素養。 不同物質引起的健康風險評估, 你能了解背後的論證, 能判斷它們的重要性嗎? 你是否有能力針對政客們提出的統計數據, 判斷其意義及重要性? 你會簡單的縫紉和木工所需的丈量嗎? 會編列預算? 看得懂報章雜誌裡的圖表? 是否能察覺許多常被用來誇大或貶低某一趨勢的手法?

再者, 在日益複雜及技術發達的社會裡, 許多支撐社會運作的工作都需要數學作為工具, 用途多變而且無所不在。 齒模技師、傳真機維修員、速食店經理、房產經紀人、電腦顧問、簿記員、銀行行員、 護士和律師, 在工作上都需要對數學有一定程度的了解。

最後, 數學大量地使用(有時濫用)在科學的大多數分支。 許多理論科學實際上就是數學, 統計就是最常見的應用之一。 許多科學家使用一般常用的電腦統計套裝軟體, 降低了計算的必要, 但使用統計套裝軟體的人, 往往不太清楚其中的基本原理, 因而不當應用統計測試或圖示。

11.2. 數學是活的

對我來說, 這些實用目標雖然重要, 卻是次要的。 數學所擁有非比尋常的美、力度和一致性, 遠超過我們的想像。 當我們進入新的階段, 發現新的喜悅, 發現它與舊有熟悉領域意想不到的連結 --- 數學一直在變化, 變化得很快, 這是由於數學涉及的是一種堅實可靠的推理。

數學如同不切實際的幻想, 卻能實現而且長存。 做數學感覺像憑空造物, 但這個過程實際上使我們知覺敏銳, 才能發現周遭無所不在的一些式樣(patterns)。 G. H. Hardy 在他對數學著名的辯白中, 讚美數論的純粹、抽象及不證自明、無法用於實際的特性。 如今數論應用廣泛, 特別是在通訊的編碼和解碼上。

身為數學家, 美與實用這兩個數學的目標, 我相信最終是相近的。天生對美的追尋, 引領著我們認識數學至一定的深度, 並且產生一定的連結, 正是這些模式的深度與美, 使得它們可以出乎意料地展現在其它數學、科學及世界中。

與人分享數學的喜悅以及翱翔於知性世界的體驗, 正是數學教育的目的。

11.3. 測驗與「評鑑」

可惜的是, 中小學數學教育的目標已經窄得難以想像, 甚至比上述的實用目標來得狹隘, 更不用說其它的了。 最近政客和大眾紛紛要求學校系統進行「評鑑」, 這樣做很好, 只是針對教育的評鑑, 依據的常常是狹隘的選擇題測驗。

好比以為通過伊莉莎白時代英語單字計時測驗的學生, 就是精通莎士比亞; 又或者能從四個選項中正確地找出句子的文法型態, 就學會寫作。

現今州和地方的教育局, 洋洋灑灑列出學生在各年齡層所應熟習的技能, 而不是列出一套課程: 橫式加法 vs.~直式加法, 二位數相加得到二位數答案的加法 vs. 二位數相加得到三位數答案的加法等等。

1990年7月24日紐約時報都會版的頭版文章, 比較了位於布魯克林貧困區, 兩所環境類似的小學。 第一所學校辦學「有成」, 每天開設兩堂閱讀課, 第二堂專門教授標準化「測驗應試技巧」, 並讓學生練習做標準化的閱讀測驗。 全校有80.5%的學生, 成績達到或高於該年級平均。另一所辦學「不佳」的學校, 學生花在準備考試的時間只有三個月, 因此只有 36.4%學生, 成績達到或高於該年級平均。

報導的記者舉了一個辦學「有成」的校長, 如何確立學校的基調的例子:

『光只有正確答案她並不滿意, 她要求對的步驟。 在四年級的一堂課裡, 她注意到, 紮辮子的 Keanda Snagg 嘗試用一個大膽但正確的方式, 切入一道要求算出兩家店中, 哪一家的平均價格較低的問題。

她對Keanda Snagg說: 「你的作法好像沒有做什麼。」

她盯著 Keanda 做每道計算, 比起算術, 她更強調基本的原則, 例如將數字依序清楚地擺進正確的欄位。』

沒有親眼看到, 我無法評斷哪所學校比較成功, 我知道的是, 考試成績和以上的例子, 都不代表成功。

12. 思考和死記硬背

狹隘的目標讓人識見不明。

當才智能夠全力施展, 所學能與真實情形或現象結合時, 人會更聰明。如果有人不懂你講的東西, 很自然的反應就是將內容分解為更小的片段逐一講解。 如果仍然行不通, 就再回頭補充更多細節讓對方了解。

但人的心智與電腦運作方式不同, 比起理解整體大意, 要了解細小精確的規則並不容易, 反而更難。 人要讀懂電腦組合語言程式很難, 儘管電腦剎那就能掌握並且執行, 但世上最強大的電腦, 還沒有聰明到可以安全駕車、 在人行道漫步, 或得出有趣的數學發現。

用一次學一個規則的方式學數學, 就好比學習語言, 先記憶單字和語言細則, 再建立起片語和句子, 最後學閱讀、寫作及會話。 事實上, 說母語的人往往察覺不到語言規則的存在, 而是在更高的層面將語言內化, 下意識地吸收語言規則和型態。 比起學習語言本身, 特意去學語言規則和型態反而更難。 事實上, 人類傾注心力想教電腦使用語言一直未能成功, 顯示至今沒有人能用準確的規則, 適當描述語言。

與其嘗試將主題切割成瑣碎的細則及片斷來教學, 倒不如根本不教。

13. 問題和答案

通常在自行設法解決問題之後, 人們更懂得欣賞、領會數學的理論。 教數學時, 我們很自然地先依邏輯順序, 講解所有的技巧和答案, 而後才舉例及提問, 以為如此學生在遇到問題時, 可以具備解題所需的技巧。

更好的方式則是把有趣未解的問題及未經講解的例子讓大家知道, 無論學生、老師或任何人是否準備好回答這些問題。 針對一個數學主題, 最佳的心理次序跟最有效率的邏輯順序很不一樣。

身為數學家, 我們都知道尚未解決的問題永無止盡。 相反地, 沒有把數學消化到一定程度的學生, 卻把數學當作枯燥無聊的例行公事。

所以我們應該要讓數學變得更有趣, 同時更像學生現實生活中可能遭遇的情境 --- 不見得一定有答案。

14. 我們能做些什麼?

因人而定。

在分層體系裡, 要單一組織或個人直接影響整個體制很不容易, 但從部分著手可以間接影響整體。 我將以在大專院校任教的數學家觀點, 來談這個問題。

首先, 大學數學系應該開發課程, 讓學生有機會重新認識數學。 補救課程很普遍, 但成效有限: 不管第一次學的時候懂不懂, 重複上同樣的課程就是冗長乏味, 這樣的課注定存在學生缺乏學習熱忱和自發性的問題。

數學系應該為大一新生和非數學本科系, 但會用到一些數學的學生提供更多課程, 從比較基本的題材教起, 但不必重複已學過的主題。 舉例來說, 拓樸學、數論、對稱和群論、機率、有限數學、代數幾何、動力系統(混沌)、 電腦繪圖以及線性代數、射影幾何、透視圖形、雙曲幾何和數理邏輯等的初階課程, 就符合這樣的要求。

其二, 我們要努力創造教育體系中, 各個不同群體之間更佳的溝通管道; 在專業領域中彰顯教授們在教育上的成就, 而不是只侷限在課堂或系所; 要為不同系所尋找彼此交換有趣想法的管道, 例如不同系所的大學部課程主任們與系主任們之間的互訪; 觀摩他人的課堂; 在專業的會議上, 安排更多針對教育相關課題的演講和特別小組, 以及更多針對教育成就的獎項。

大學數學教育趨勢(Undergraduate Mathematics Education Trends)通訊, 以及 MAA FOCUS 就是其中的兩個管道, 有很多其它的出版品也刊載關於大學教育的文章。 每年由國家數理研究委員會組織的系主任研討會, 是另一個交流媒介,儘管其議程涵蓋範疇比教育還廣。 然而, 這些與我們所能建立的管道相比, 仍然極為不足。

更為重要且困難的是搭起各階層間溝通的橋樑: 對大專院校來說, 與高中的溝通聯繫最為重要。 溝通必須是雙向的:大專院校的教授們能從中小學教師身上, 學到許多教學技巧。 MSEB 以及他們協助催生的州立數學聯盟, 就是這樣的管道。 不過我們需要的是更多更大量的交流。

在一個成效明顯不彰的體制中, 怎能期待位居最上層的資深教授指導後進做得更好? 研究生和年輕教授往往比資深教授更會教數學, 資深教授有時受制於教學的困境, 安於一成不變的教學方式, 放棄嘗試任何新的可能, 即便他們排除萬難, 課堂教學傑出, 卻往往沒有參與整個體制的改善。

對教學真的感興趣的教授, 往往受到其他教授的質疑, 認為研究才是重點, 關注教學意味在研究上沒有成就, 資深教授有時會直截了當地告誡年輕一輩, 不要浪費太多精力在教學, 否則一輩子都無法升等。

我們勢必要體認到, 對社會和所處機構做出重要的貢獻, 有許多不同的方式。單用研究來評斷數學家是不智的, 教育也是一項重要而且有挑戰性的工作, 許多人投入並非出於必要, 而是出於選擇。 衡量一個人的標準是他的成就, 而不是假設他將時間心力花在其它地方, 可能會有的成果。

最急需改變的是專業的獎勵制度, 我們需要的是比現況更好的制度。 大學數學系常把教學的重要掛在嘴邊, 卻只在聘任的最後階段, 無法用研究品質定奪時, 才將教學納入評比。

人會受群體的影響激勵, 當大家一起討論教育, 投入的心力越多, 它對我們就益形重要。 學術的文化可以改變, 也已經在改變, 改變的過程大都經由非正式的方式(如午餐閒聊), 不是經由官方的決定。 當時機成熟, 而我認為現在就是數學教育改變的時候, 各相關單位一點點的努力, 就能促成巨大的改變。

數學教育所需的革新, 將經由大專院校及各方的合作努力達成。 好的數學想法會透過數學社群的非正式管道迅速散播, 當我們更加關注教育, 好的教育理念也會隨之快速遠播。

---本文翻譯者黃馨霈為中央研究院數學研究所助理---

延伸閱讀

1. K-12數學教育的危機 --- 伍鴻熙談美國中小學數學教育,《數學傳播季刊》第37卷3期(147號), 14-24。

2. 趙潔, 林開亮, 國小學數學師資培訓教材《數的基礎理論》簡介 --- 兼論伍鴻熙教授的教育工作,《數學傳播季刊》第37卷3期(147號), 25-47。

3. 上網搜尋 geometry center, 可以取得 Geometry and the Imagination 的課程講義以及其它相關資訊。