37408 各邊相等的球內接多邊形的兩個性質

終極密碼

遊戲規則:本遊戲為猜密碼的遊戲。密碼為0到100之間的其中1個整數,電腦會提示密碼的所在範圍,玩家必須在6次之內猜到密碼才能過關。
★ 終極密碼為0到100之間 ★
您共有六次機會

文[1]證明了正三角形和正五邊形的兩個性質。因兩者形式一致, 下面我們只敘述正五邊形的性質:

圖1

如圖1所示, 點 $P$ 為正五邊形 $A_1A_2A_3A_4A_5$ 內一點且由點 $P$ 向各邊作垂線得到的垂足都在各邊內, 設點 $P$ 在五邊上的垂足分別為 $F$、 $I$、 $J$、 $K$、 $L$, 連結 $PA_1$、 $PA_2$、 $PA_3$、 $PA_4$、 $PA_5$, 則正五邊形被分成 10 個直角三角形。 設這些直角三角形的內切圓半徑分別為 $r_1$、 $r_2$、 $\ldots$、 $r_{10}$, 則有如下兩個結論:

(1) $A_1F+A_2I+A_3J+A_4K+A_5L=FA_2 +IA_3 +JA_4 +KA_5 +LA_1$;

(2) $r_1+r_3+r_5+r_7+r_9=r_2+r_4+r_6+r_8+r_{10}$。

本文擬將這兩個結論推廣到一般情形。

上面(1)式中的"$A_1F+A_2I+A_3J+A_4K+A_5L$" 實質上是向量 $\overrightarrow {A_1P}$、 $\overrightarrow {A_2P}$、 $\overrightarrow {A_3P}$、 $\overrightarrow {A_4P}$、$\overrightarrow {A_5P}$ 分別在 $\overrightarrow {A_1A_2}$、 $\overrightarrow {A_2A_3}$、$\overrightarrow {A_3A_4}$、 $\overrightarrow {A_4A_5}$、 $\overrightarrow {A_5A_1}$、 上的射影之和。 注意到這一點, 我們就能將其推廣為:

性質 1:

球 $O$ 的內接 $n$ 邊形 $A_1A_2\cdots A_n$ 各邊相等, $P$ 為空間中任一點。 則向量 $\overrightarrow {A_1P}$、 $\overrightarrow {A_2P}$、 $\cdots$、 $\overrightarrow {A_{n-1}P}$、 $\overrightarrow {A_nP}$ 分別在 $\overrightarrow {A_1A_2}$、 $\overrightarrow {A_2A_3}$、$\cdots$、 $\overrightarrow {A_{n-1}A_n}$、 $\overrightarrow {A_nA_1}$ 上的射影之和等於 $n$ 邊形 $A_1A_2\cdots A_n$ 的半周長。

證明:

 不妨設各邊相等的球 $O$ 的內接 $n$ 邊形 $A_1A_2A_3\cdots A_n$ 的邊長為 1, 則 $\overrightarrow {A_1A_2}$、 $\overrightarrow {A_2A_3}$、$\cdots$、 $\overrightarrow {A_{n-1}A_n}$、 $\overrightarrow {A_nA_1}$ 均為單位向量。

注意到 $\triangle OA_1A_2$ 中有 $OA_1=OA_2$, 所以向量 $\overrightarrow {A_1O}$ 在 $\overrightarrow {A_1A_2}$ 上的射影為邊長 $A_1A_2$ 的一半, 即 $\overrightarrow {A_1O}\cdot \overrightarrow {A_1A_2}=\dfrac 12$。 同理有 $\overrightarrow {A_2O}\cdot \overrightarrow {A_2A_3}=\dfrac 12$, $\overrightarrow {A_3O}\cdot \overrightarrow {A_3A_4}=\dfrac 12$, $\cdots$, $\overrightarrow {A_nO}\cdot \overrightarrow {A_nA_1}=\dfrac 12$。

因此有 $\overrightarrow {A_1O}\cdot \overrightarrow {A_1A_2}+\overrightarrow {A_2O}\cdot \overrightarrow {A_2A_3}+\cdots+\overrightarrow {A_nO}\cdot \overrightarrow {A_nA_1}=\dfrac n2$。

又, $\overrightarrow {OP}$ 在 $\overrightarrow {A_1A_2}$、 $\overrightarrow {A_2A_3}$、$\cdots$、 $\overrightarrow {A_{n-1}A_n}$、 $\overrightarrow {A_nA_1}$ 上的射影之和為 $\overrightarrow {OP}\cdot (\overrightarrow {A_1A_2}+\overrightarrow {A_2A_3}+\cdots+\overrightarrow {A_nA_1})= \overrightarrow {OP}\cdot \vec 0=0$。 \begin{eqnarray*} &&\hskip -15pt \hbox{所以}\quad \overrightarrow {A_1P}\!\cdot \! \overrightarrow {A_1A_2}\!+\!\overrightarrow {A_2P}\!\cdot \! \overrightarrow {A_2A_3}\!+\!\cdots\!+\!\overrightarrow {A_nP}\!\cdot \! \overrightarrow {A_nA_1}\\ &=&(\overrightarrow {A_1O}\!+\! \overrightarrow {OP})\!\cdot \! \overrightarrow {A_1A_2}\!+\!(\overrightarrow {A_2O}\!+\!\overrightarrow {OP})\!\cdot \! \overrightarrow {A_2A_3}\!+\!\cdots \!+\!(\overrightarrow {A_nO}\!+\!\overrightarrow {OP})\!\cdot \! \overrightarrow {A_nA_1}\\ &=&\overrightarrow {A_1O}\!\cdot \! \overrightarrow {A_1A_2}\!+\!\overrightarrow {A_2O}\!\cdot \! \overrightarrow {A_2A_3}\!+\!\cdots\!+\!\overrightarrow {A_nO}\!\cdot \! \overrightarrow {A_nA_1} \!+\!\overrightarrow{OP} \cdot(\overrightarrow {A_1A_2}\!+\!\overrightarrow {A_2A_3}\!+\!\cdots\!+\!\overrightarrow {A_nA_1})=\dfrac n2. \end{eqnarray*} 即:向量 $\overrightarrow {A_1P}$、 $\overrightarrow {A_2P}$、$\cdots$、 $\overrightarrow {A_nP}$ 分別在 $ \overrightarrow {A_1A_2}$、 $ \overrightarrow {A_2A_3}$、$\cdots$、 $ \overrightarrow {A_{n-1}A_n}$、 $ \overrightarrow {A_nA_1}$ 上的射影之和等於 $n$ 邊形 $A_1A_2A_3\cdots A_n$ 的半周長。$\Box$

同理可證:向量 $\overrightarrow {A_1P}$、 $\overrightarrow {A_2P}$、$\cdots$、 $\overrightarrow {A_{n-1}P}$、 $\overrightarrow {A_nP}$ 分別在 $ \overrightarrow {A_1A_n}$、 $ \overrightarrow {A_2A_1}$、 $\cdots$、 $ \overrightarrow {A_{n-1}A_{n-2}}$、 $ \overrightarrow {A_nA_{n-1}}$ 上的射影之和也等於 $n$ 邊形 $A_1A_2A_3\cdots A_n$ 的半周長。

由此即可得:

推論:

 球 $O$ 的內接 $n$ 邊形 $A_1A_2A_3\cdots A_n$ 各邊相等, $P$ 為空間中任一點。 則向量 $\overrightarrow {A_1P}$、 $\overrightarrow {A_2P}$、$\cdots$、 $\overrightarrow {A_{n-1}P}$、 $\overrightarrow {A_nP}$ 分別在 $ \overrightarrow {A_1A_2}$、 $ \overrightarrow {A_2A_3}$、 $\cdots$、 $ \overrightarrow {A_{n-1}A_{n}}$、 $ \overrightarrow {A_nA_{1}}$ 上的射影之和等於它們分別在 $ \overrightarrow {A_1A_n}$、 $ \overrightarrow {A_2A_1}$、 $\cdots$、 $ \overrightarrow {A_{n-1}A_{n-2}}$、 $ \overrightarrow {A_nA_{n-1}}$ 上的射影之和。

這樣, 我們就將(1)式推廣到了一般情形。

結合上述推論我們就可推得:

性質 2 :

 球 $O$ 的內接 $n$ 邊形 $A_1A_2\cdots A_n$ 各邊相等, $P$ 為空間中一點且點 $P$ 在 $n$ 邊形 $A_1A_2\cdots A_n$ 各邊所在直線上的射影都落在各邊之內。 設點 $P$ 在此 $n$ 邊形各邊上的射影依次為 $P_1$、 $P_2$、 $\cdots$、 $P_n$。 連結 ${PA_1}$、 ${PA_2}$、$\cdots$、 ${PA_{n}}$ 和 ${PP_1}$、 ${PP_2}$、$\cdots$、 ${PP_n}$, 則這 $2n$ 條線段和 $n$ 邊形的 $n$ 條邊可以圍成 $2n$ 個直角三角形。 設這 $2n$ 個直角三角形的內切圓半徑依次為 $r_1$、$r_2$、$\cdots$、$r_{2n}$, 則有: $r_1+r_3+r_5+\cdots+r_{2n-1}= r_2+r_4+ r_6+\cdots +r_{2n}$。

性質 2 的證明與文 [1] 對 (2) 式的證明完全類似, 因此本文略去。

滿足性質2 "在 $n$ 邊形 $A_1A_2\cdots A_n$ 各邊所在直線上的射影都落在各邊之內" 這個條件的點 $P$ 是一定存在的。 事實上, 過 $A_i$、$A_{i+1}$分別作直線 $A_iA_{i+1}$ 的垂面 $\alpha_i$、 $\beta_i$, 則滿足條件的點 $P$ 必在平行平面 $\alpha_i$、 $\beta_i$ 之間 $(i=1,2,3,\ldots,n$, 這裡約定 $A_{n+1}=A_1$)。 又, 平行平面 $\alpha_i$、 $\beta_i$ 之間的距離即是 $n$ 邊形 $A_1A_2\cdots A_n$ 的邊長, 則球心 $O$ 到它們的距離都為邊長之半。 所以這 $n$ 對平行平面所圍成的區域存在一個以點 $O$ 為球心以 $n$ 邊形 $A_1A_2\cdots A_n$ 的邊長之半為半徑的內切球。 這表明這個區域是非空的, 因此點 $P$必定存在。

參考資料

劉步松, 正三角形和正五邊形的兩個性質, 數學傳播, 第36卷1期(2012), pp.93-96。

---本文作者任教重慶市長壽龍溪中學---