37209 三組平行線定理及其一個猜想

終極密碼

遊戲規則:本遊戲為猜密碼的遊戲。密碼為0到100之間的其中1個整數,電腦會提示密碼的所在範圍,玩家必須在6次之內猜到密碼才能過關。
★ 終極密碼為0到100之間 ★
您共有六次機會

如圖一, 平面上給定三組平行線, 分別是 $a_1//a_2$, $b_1//b_2$ , $c_1//c_2$ , 處在不同組的兩條直線都是相交的。 設 $a_1$ 與 $b_2$ 的交點為 $A$, $b_1$ 與 $c_2$ 的交點為 $B$, $c_1$ 與 $a_2$ 的交點為 $C$; $a_2$ 與 $b_1$ 的交點為 $D$, $b_2$ 與 $c_1$ 的交點為 $E$, $c_2$ 與 $a_1$ 的交點為 $F$, 則有如下兩個結論:

(1) 若 $A$, $B$, $C$ 三點不共線, 則 $S_{\triangle ABC}=S_{\triangle DEF}$;

(2) 若 $A$, $B$, $C$ 三點共線, 則 $D$, $E$, $F$ 三點也共線。

圖一
這個定理是筆者在研究四邊形的性質時發現的, 感覺它條件簡單, 結論中, $a$, $b$, $c$ 三個字母具有輪換性, 下標1和2也是輪換的, 從而是非常優美的一個定理。

下面證明這個定理。

在直角坐標系中, 設 $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ 的座標依次為 $A(x_1,y_1)$, $B(x_2,y_2)$, $C(x_3,y_3)$, $D(x'_1,y'_1)$, $E(x'_2,y'_2)$, $F(x'_3,y'_3)$, 利用平行線的斜率相等:

因為 $AF//DC$ , 所以 $\dfrac{y'_3-y_1}{x'_3-x_1}=\dfrac{y_3-y'_1}{x_3-x'_1}$, 因為 $AE//BD$, 所以 $\dfrac{y'_2-y_1}{x'_2-x_1}=\dfrac{y'_1-y_2}{x'_1-x_2}$, 因為 $CE//FB$ , 所以 $\dfrac{y'_2-y_3}{x'_2-x_3}=\dfrac{y_2-y'_3}{x_2-x'_3}$。將上面三個等式分別去分母可得下面三個等式: \begin{eqnarray} x'_3y_3-x'_3y'_1-x_1y_3+x_1y'_1&=&x_3y'_3-x_3y_1-x'_1y'_3+x'_1y_1\label{1}\\ x'_2y'_1-x'_2y_2-x_1y'_1+x_1y_2&=&x'_1y'_2-x'_1y_1-x_2y'_2+x_2y_1\label{2}\\ x'_2y_2-x'_2y'_3-x_3y_2+x_3y'_3&=&x_2y'_2-x_2y_3-x'_3y'_2+x'_3y_3\label{3} \end{eqnarray} 將上面三個等式相加, 消項後並移項可得: $$x_1y_2+x_2y_3+x_3y_1-x_2y_1-x_3y_2-x_1y_3=x'_1y'_2+x'_2y'_3+x'_3y'_1-x_2y'_1-x'_3y'_2-x'_1y'_3$$ 寫成行列式的形式: \begin{equation} \left|\begin{array}{ccc} ~x_1~&~y_1~&~1~\\ x_2&y_2&1\\ x_3&y_3&1 \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc} ~x'_1~&~y'_1~&~1~\\ x'_2&y'_2&1\\ x'_3&y'_3&1 \end{array}\right|\label{4} \end{equation} 而 $S_{\triangle ABC}=\Big|\frac 12\left|\begin{array}{ccc} ~x_1~&~y_1~&~1~\\ x_2&y_2&1\\ x_3&y_3&1 \end{array}\right|\Big|$, $S_{\triangle DEF}=\Big|\frac 12\left|\begin{array}{ccc} ~x'_1~&~y'_1~&~1~\\ x'_2&y'_2&1\\ x'_3&y'_3&1 \end{array}\right|\Big|$, 由於 \eqref{4} 式成立, 所以有 $S_{\triangle ABC}=S_{\triangle DEF}$。 從而結論(1)成立; 如果 $A$, $B$, $C$ 三點共線, 則 $\left|\begin{array}{ccc} ~x_1~&~y_1~&~1~\\ x_2&y_2&1\\ x_3&y_3&1 \end{array}\right|=0$, 由 \eqref{4} 式也有 $\left|\begin{array}{ccc} ~x'_1~&~y'_1~&~1~\\ x'_2&y'_2&1\\ x'_3&y'_3&1 \end{array}\right|=0$, 從而 $D$, $E$, $F$ 三點也共線, 證畢。 $\Box$

筆者在幾何畫板上已驗證, 對於四、五、六、七組平行線時, 類似的定理也成立。因此筆者猜想有如下的定理成立。

平面上有 $n$ 組平行線滿足: $a_{11}//a_{12}$, $a_{21}//a_{22}$ , $\ldots$, $a_{n1}//a_{n2}$。 記 $a_{11}$ 與 $a_{22}$ 的交點為 $A_1$, $a_{21}$ 與 $a_{32}$ 的交點為 $A_2$, $a_{31}$ 與 $a_{42}$ 的交點為 $A_3$, $\cdots$, $a_{n1}$ 與 $a_{12}$ 的交點為 $A_n$; $a_{12}$ 與 $a_{21}$ 的交點為 $B_1$, $a_{22}$ 與 $a_{31}$ 的交點為 $B_2$, $a_{32}$ 與 $a_{41}$ 的交點為 $B_3$, $\cdots$, $a_{n2}$ 與 $a_{11}$ 的交點為 $B_n$。 則多邊形 $A_1A_2\cdots A_n$的面積等於多邊形 $B_1B_2\cdots B_n$ 的面積。 圖二畫出了 $n=5$ 的情形。

$A_1A_2A_3A_4A_5$ 的面積 = 59.67 厘米$^2$

$B_1B_2B_3B_4B_5$ 的面積 = 59.67 厘米$^2$

圖二

下面用三組平行線定理解決一個實際問題。

圖三圖四
如圖三, 對任意四邊形 $ABCD$, 若 $\triangle ABC$、 $\triangle BCD$、 $\triangle CDA$、 $\triangle DAB$ 的垂心依次為 $E$、 $F$、 $G$、 $H$, 則有四邊形 $EFGH$ 的面積等於四邊形 $ABCD$ 的面積。

證: 如圖四, 對 $\triangle ABD$ 和 $\triangle FGE$ 使用三組平行線定理。 記直線 $AE$ 為 $a_1$, 直線 $DF$ 為 $a_2$, 直線 $FB$ 為 $b_1$, 直線 $AG$ 為 $b_2$, 直線 $DG$ 為 $c_1$, 直線 $BE$ 為 $c_2$。 因為 $E$ 為 $\triangle ABC$ 的垂心, 所以 $AE\perp BC$, 因為 $F$ 為 $\triangle BCD$ 的垂心, 所以 $DF\perp BC$, 從而 $AE//DF$, 即 $a_1//a_2$, 同理可證, $b_1//b_2$, $c_1//c_2$, 由三組平行線定理有 $S_{\triangle ABD}=S_{\triangle FGE}$。 同理可證, $S_{\triangle BCD}=S_{\triangle GHE}$, 這樣便有四邊形 $EFGH$ 的面積等於四邊形 $ABCD$ 的面積。

從上面的證明看到, 利用三組平行線定理證明四邊形的這個性質是非常簡潔的。

---本文作者為中國江蘇省邳州市運河高等師範學校---

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