27406 以微積分的方法求四邊形面積公式

終極密碼

遊戲規則:本遊戲為猜密碼的遊戲。密碼為0到100之間的其中1個整數,電腦會提示密碼的所在範圍,玩家必須在6次之內猜到密碼才能過關。
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三角形被三個邊長完全確定, 四邊形則否。 有名的海龍公式告訴我們如何利用三個邊長來計算三角形的面積。 至於四邊形求面積的公式, 不能只用四個邊長, 還要加上頂角的角度, 公式由 Bretschneider 在 1842 年提出 (註一)。 如果四個邊長依序為 $a,\ b,\ c,\ d$, 而相關的頂角分別為 $A,\ B,\ C,\ D$ (如圖一)

圖一

則此四邊形的面積 $\triangle$ 的平方可以表為 $$ \triangle^2=(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd \cos^2\Big({B+D\over 2}\Big). $$ 其中 $s$ 是週長的一半。

如果以 $s={a+b+c+d\over 2}$ 代入整理, 可以將 Bretschneider 公式寫成 $$ \triangle^2={1\over 16}(a+b+c-d)(b+c+d-a) \\(c+d+a-b)(d+a+b-c)-abcd \cos^2\Big({B+D\over 2}\Big) $$ 一個重要的結果是, 當此四邊形內接於一個圓的時候, 由於 $B+D=180^\circ$, 因此面積會最大, 並且面積的平方就是 ${1\over 16}(a+b+c-d)(b+c+d-a)(c+d+a-b)(d+a+b-c)$。 有關 Bretschneider 公式, 蔡聰明在他的書中用平面幾何的方法給了完整的證明 (註一)。 本文嘗試用微積分的辦法來得出相同的公式, 想法來自微積分基本定理 --- 我們想要求一個圖形的面積, 不妨把面積對某個參數微分, 看看能得出什麼, 然後再積分 (反微分) 回去, 積分回去的時候, 會生出一個不定常數, 再想辦法確定這個常數。 在本文中, 四邊形的的四個邊長 $a,\ b,\ c,\ d$ 給定, 它的面積以 $\triangle$ 表示, (如圖二) 參數就是角 $B$, 至於角 $D$, 它被 $B$ 所決定, 因此可以看成是 $B$ 的函數

圖二

我們先把 $\triangle$ 寫成
則有 \begin{eqnarray*} \triangle&=&{1\over 2}ab\sin B+{1\over 2}cd\sin D\\ \quad {d\triangle\over dB}&=&{1\over 2}ab \cos B+{1\over 2}cd \cos D{dD\over dB} \end{eqnarray*} 因為 $$l^2=a^2+b^2-2ab\cos B=c^2+d^2-2cd \cos D$$ 微分之後有 \begin{equation}%1 ab\sin B=cd\sin D{dD\over dB} \end{equation} 現考慮 $$\triangle{d\triangle\over dB}={1\over 4}(ab\sin B+cd\sin D)(ab \cos B+cd \cos D{dD\over dB})$$ 將 (1) 代入得 \begin{eqnarray*} \triangle{d\triangle\over dB}&=&{1\over 4}\Big(cd\sin D{dD\over dB}+cd\sin D\Big)\Big(ab \cos B+cd \cos D{dD\over dB}\Big) \\ &=&{1\over 4}\Big({dD\over dB}+1\Big)cd\Big[ab\sin D \cos B+cd\sin D\cos D{dD\over dB}\Big]\\ \hbox{(再將 (1) 代入)}&=&{1\over 4}\Big({dD\over dB}+1\Big)cd[ab\sin D \cos B+ab\sin B\cos D]\\ &=&{1\over 4}\Big({dD\over dB}+1\Big)abcd\sin (B+D)\\ &=&{-1\over 4}abcd {d\over dB}(\cos(B+D)) \end{eqnarray*} 所以 $${d\over dB}(\triangle^2)=-{1\over 2}abcd {d\over dB}\cos(B+D)$$ 因此 \begin{equation}%2 \triangle^2=K-{1\over 2}abcd \cos(B+D) \end{equation} 其中 $$K=K(a,b,c,d) \hbox{ 是一個待定的常數。}$$ 如何決定 $K$? 當然要選一個特別的角 $B$ 代入, 一般會想到讓 $B+D=180^{\circ}$。 此時 $\triangle$ 就是內接於一圓時四邊形的面積, 這未必好求。 比較好的辦法是令 $B=180^{\circ}$, 四邊形就變成了一個三角形。 (如圖三)

圖三

這雖然是一個退化的情形, 但是一則不影響一般性, 再則三角形的面積有現成的海龍公式, 也就是說我們得到 \begin{eqnarray}%3 &&{1\over 16}(a+b+c+d)(a+b+c-d)(a+b+d-c)(c+d-a-b)\nonumber\\ &=&K-{1\over 2}abcd \cos(180^\circ+D)\nonumber\\ &=&K+{1\over 2}abcd\cos D \end{eqnarray} 再用一次餘弦定律 \begin{equation}%4 {1\over 16}(a+b+c+d)(a+b+c-d)(a+b+d-c) \\(c+d-a-b)=K+{1\over 4}ab[c^2+d^2-(a+b)^2] \end{equation} 我們注意等式左邊就是三角形三邊長為 $a+b$, $c$, $d$ 的面積平方 (海龍) 公式。 (4) 式已經決定了 $K$, 雖然尚未整理, 卻至少告訴我們, $K$ 是一個 $a$, $b$, $c$, $d$ 的四次齊次多項式。 現在, 可以利用配方來整理 $K$ (這需要一點後見知明) \begin{eqnarray*} K&\!=&{1\over 16}(a\!+\!b\!+\!c\!-\!d)(a\!+\!b\!+\!d\!-\!c)((c\!+\!d)^2\!-\!(a\!+\!b)^2) \!-\!{1\over 4}ab(c^2\!+\!d^2\!-\!(a\!+\!b)^2)\\ &\!=&{1\over 16}(a\!+\!b\!+\!c\!-\!d)(a\!+\!b\!+\!d\!-\!c)((c\!+\!d)^2\!-\!(a\!+\!b)^2)\\ &\!&-{ 1\over 4}ab(c^2\!+\!d^2\!-\!(a\!+\!b)^2)+{1\over 2}abcd-{1\over 2}abcd\\ &\!=&{1\over 16}(a\!+\!b\!+\!c\!-\!d)(a\!+\!b\!+\!d\!-\!c)((c\!+\!d)^2\!\!-\!(a\!+\!b^2)) \!-\!{1\over 4}ab[c^2\!\!+\!d^2\!\!-\!2cd\!-\!(a\!+\!b)^2]\!-\!{1\over 2}abcd\\ &\!=&{1\over 16}(a+b+c-d)(a+b+d-c)((c+d)^2-(a+b)^2)\\ &\!&+{1 \over 4}ab(a+b+c-d) (a+b+d-c)-{1\over 2}abcd\\ &\!=&{1\over 16}(a+b+c-d)(a+b+d-c)((c+d)^2-(a+b)^2+4ab)-{1\over 2}abcd\\ &\!=&{1\over 16}(a+b+c-d)(a+b+d-c)(c+d-a+b)(c+d+a-b)-{1\over 2}abcd\\ \end{eqnarray*} 代回到 (2) \begin{eqnarray*} \triangle^2&=&{1\over 16}(a+b+c-d)(b+c+d-a)(c+d+a-b)(d+a+b-c)\\ &&-{1\over 2}abcd-{1\over 2}abcd \cos(B+D)\\ &=&{1\over 16}(a+b+c-d)(b+c+d-a)(c+d+a-b)(d+a+b-c)\\ &&-abcd \cos^2\Big({B+D\over 2}\Big)\\ &=&(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd \cos^2\Big({B+D\over 2}\Big) \end{eqnarray*} 這是 Bretschneider 公式。 我第一次看到將 $\triangle$ 對角 $B$ 微分, 是在項武義老師的演講中, 他的講題是等周問題 (Isoperimetric Problem), 他寫下了 $$ \triangle{d\triangle\over dB}={1\over 4}\Big({dD\over dB}+1\Big)abcd\sin (B+D) $$ 然後, 他令 ${d\triangle\over dB}=0$, 得出 $\sin(B+D)=0$ 或者 $B+D=180^\circ$ 時, $\triangle$ 會有最大值。 他利用這個事實嘗試給等周問題一個比較幾何的證明 (當然, 他假設了等周問題是有解的) (註二)

他的證明如下: 不妨假設這個面積最大的情形是發生在一個凸的區域 (周長給定) (如圖四)

圖四(可移動B點)

任取四點, 連一個四邊形, 如果 $ABCD$ 不能內接於一圓, 那麼就可以調整角 $B$, 讓 $ABCD$ 的面積更大, 而注意到作這個調整的時候弧長 $AB$, $BC$, $CD$ 及 $DA$ 卻沒有改變。 因此, 如果這個凸區域在給定的周長之下具有最大面積的話, 那在邊上任取四點所成的四邊形都必須內接於一圓 , 不難證出, 這些圓根本就是同一個圓, 這個凸區域就是此圓的內部。 等周問題主張在周長一定的時候, 圓域的面積最大。 武義師的證明相當有啟發性。 (註三)

[註一.] 見蔡聰明, 數學的發現趣談, 三民書局, 九十一年版, 第 163 頁。 [註二.] 等周問題是問, 當周長一定的時候, 什麼樣的區域會有最大的面積, 答案是圓域, 有興趣的讀者可以參考 Courant and John, Introduction to Calculus and Analysis, Vol. II, pp.365-366. [註三.] 八十八年項武義老師在台大數學系的演講。

---本文作者曾任教於臺灣大學數學系, 現已退休---